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精编新版2019年高中数学单元测试卷-函数综合问题专题模拟考核题(含标准答案)

发布时间:

2019 年高一年级数学单元测试卷
函数综合问题

学校:__________ 姓名:__________ 班级:__________ 考号:__________

一、选择题

1.已知两条直线 l1

:y=m

和 l2 :

y=

8 2m ?1

(m>0), l1 与函数

y

?

log2

x

的图像从左至

右相交于点 A,B , l2 与函数 y ? log2 x 的图像从左至右相交于 C,D .记线段 AC 和 BD 在 X

轴上的投影长度分别为 a ,b ,当 m 变化时, b 的最小值为 a

A.16 2 B. 8 2 C.8 4 D. 4 4

二、填空题
2.现在已知方程 e x ? x ? 2 ? 0 的一个根所在的区间为(K,K+1)且 K∈N,则 K 的值为

3.已知函数

f

(x)

?

??(a ?

? 1) x

?

a

?

1 2

,

(x

?

0)

,是

(??, ??)

上的单调减函数,则实数

a

??

ax,

(x ? 0)

的取值范围是 ▲

.

(第Ⅱ卷)
4.函数 f (x) ? ax ? bsin x ?1,若f (5) ? 7,则f (?5) ? 。

5.已知函数 f (x) ? x ? a (x ? 2) 的图像过点 A(3,7) ,则此函数的最小值是 _ . x?2

6 . 函数 f (x) 对 任 意 正整 数 a、b 满 足 条件 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) , 且 f (1)? 2。 则

f ( 2)? f ( 4)? f ( 6?)…… ? f ( 2010)

f (1) f (3) f (5)

f ( 200的9)值是

7.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 是 常数,A>0,ω>0)在 闭区间[?? ,0] 上的 图象如图所示,则 ? = .

8.已知函数

f

(x)

?

?x2 ?

?

4,

0 ? x ? 2 ,则 f (2) ?

? 2x, x ? 2

;若 f (x0 ) ? 8, 则 x0 ?



4.0;4

9.函数 f (x) ? x ln x(x ? 0) 的单调递增区间是

10.函数 f (x) ? lg x 的定义域为 ▲

11.已知函数 f (x) ? a x (a ? 0且a ? 1) 在[1, 2] 上最大值比最小值大 a ,则 a 的值 2



.

12.函数 y ? sin x 在区间?0,t? 上恰好取得一个最大值,则实数 t 的取值范围是_ __

13 . 已 知 二 次 函 数 g ( x ) 对 任 意 实 数 x 都 满 足 g ? x?1? ? g? 1 ? x? ? 2x ?2 x ?1, 且

g ?1? ? ?1 .令

? ? f (x) ? g

x

?

1 2

?

m

ln

x

?

9 8

(m

?

R,

x

?

0)

.(1)求

g(x)的表达式;

( 2 ) 设 1? m ? e , H(x) ? f (x) ? (m ?1)x , 证 明 : 对 ?x1,x2 ?[1,m] , 恒 有

| H (x1) ? H (x2 ) |? 1.

14.已知函数 f(x)=ex-ax,其中 a>0.若对一切 x∈R,f(x)≥1 恒成立, 则 a 的取值集合 为.

15.已知函数 f (x)=ln(2x-1),则 f ′(x)=



16.若函数 f (x) = (1? x2 )(x2 ? ax ? b) 的图像关于直线 x ? ?2 对称,则 f (x) 的最大值是

______.(2013 年高考新课标 1(理))

17.已知 函数 f (2x ?1) ? 4x2 ,则 f (5) ?

.

三、解答题
18.(本题 16 分)已知函数 f (x) ? log4 (4x ?1) ? kx, (k ? R) 为偶函数. (1)求 k 的值; (2)若方程 f (x) ? log4 (a ? 2x ? a) 有且只有一个根,求实数 a 的取值范围. 19.已知函数 f (x) ? x2 x ? a (1)若 x ? R, a ? 3 ,求 f (x) 的单调区间;

(2)若 a ? R, x ?[1,2] ,求 f (x) 的最大值.

解(1)函数的单调增区间为 (0,2),(3,??) 函数的单调减区间为 (??,0),(0,2)

(2)

法一:

f (x)

?

x2

x?a

=

??x3 ? ???? x3

ax2 , ? ax

(
2

x? ,(x

a) ? a)

① a ? 2 时, f (x) ? ? x3 ? ax2 , x ?[1,2]

2a 3

? 1, 即 a ? 3 时 ,

f (x)m a x?

f (2) ? 4a ? 8

f (x)max

?

f (2 a) ? 3

4a 3 27

② a ? 1时, f (x)max ? f (2) ? 8 ? 4a

f ' (x) ? ?3x2 ? 2ax ? ?3x(x ? 2a ) i) 3
ii ) 1 ? 2a ? 2 即 2 ? a ? 3 时 , 3



1 ? a ? 2 时,

f

(x)

?

??x3 ? ???? x3

ax2 , (a ? x ? 2) ? ax2 , (1 ? x ? a)

i) 2a ? 1, 即1 ? a ? 3 时,

3

2

f (x)max

?

f (2) ? 8 ? 4a

ii)

3 2

?

a

?

2

时,

f

( x) m ax

?

? max?8
?

?

4a,

4a 3 27

? ? ?

当1.79

?

a

?

2 时,

f

( x) m ax

?

4a 3 27



3 2

?

a

? 1.79 时,

f

( x) m ax

?

8

?

4a

?8 ? 4a, a ? 1.79

综上

f

( x) m ax

?

?? 4a 3

? ?

27

,1.79

?

a

?

3

??4a ? 8, a ? 3

20.已知函数 f(x)=2x,x∈R. (Ⅰ)解方程:f(2x)﹣f(x+1)=8; (Ⅱ)设 a∈R,求函数 g(x)=f(x)+a?4x 在区间[0,1]上的最大值 M(a)的表达式; (Ⅲ)若 f(x1)+f(x2)=f(x1)f(x2),f(x1)+f(x2)+f(x3)=f(x1)f(x2)f (x3),求 x3 的最大值.(16 分)

21.(本题满分 14 分)
已知函数 f ? x? ? 2x ? 5 的定义域为 ?0, ??? .设点 P 是函数图像上的任意一点,过点 P 分
x 别作直线 y ? 2x 和 y 轴的垂线,垂足分别为 M 、 N .

⑴ PM ? PN 是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由; y ⑵ 设点 O 为坐标原点,求四边形 OMPN 面积的最小值.
N

y=2x
P M

O x

22.已知

f

(x)

?

? ax2

? ?b

?

2x

? x ? 5, x ? 0 ? cx ? 3, x ? 0

,若

x0

?

0

,且点

A?x0 ,

f

?x0

?? 关于坐标原点的对

称点也在 f ?x? 的图象上,则称 x0 为 f ?x? 的一个“靓点”.

(1) 当 a ? b ? c ? 0 时,求 f ?x? 的“靓点”;

(2) 当 a ? 0 且 b ?1 时,若 f ?x? 在 ?0,1?上有且只有一个“靓点”,求 c 的取值范围;

(3) 当 c ? a ?1且 b ? 0 时,若 f ?x? 恒有 “靓点”,求 a 的取值范围.

23.定义在正实数集上的函数 f (x) 满足下列条件: ① 存 在 常 数 a(0 ? a ?1), 使 得 f (a) ? 1 ; ② 对 任 意 实 数 m , 当 x ? 0 时 , 恒 有 f (xm ) ? mf (x) . (1)求证:对于任意正实数 x、y , f (xy) ? f (x) ? f (y) ;

(2)证明: f (x) 在 (0,? ?) 上是单调减函数;
? ? ? ? (3)若不等式 f log2a ?4 ? x? ? 2 ? f loga (4 ? x)8 ≤3 恒成立,求实数 a 的取值范围.

24.如图,在半径为 3 、圆心角为 60 的扇形的弧上任取一点 P ,
作扇形的内接矩形 PNMQ ,使点 Q 在 OA 上,点 N, M 在 OB 上,
设矩形 PNMQ 的面积为 y ,
(1)按下列要求写出函数的关系式:
①设 PN ? x ,将 y 表示成 x 的函数关系式; ②设 ?POB ? ? ,将 y 表示成? 的函数关系式, (2)请你选用(1)中的一个函数关系式,求出 y 的最大值. (本题
满分 14 分)

25.已知 f(x)=x2-2x+2,其中 x∈[t,t+1],t∈R,函数 f(x)的最小值为 t 的函数 g(t), 试计算当 t∈[-3,2]时 g(t)的最大值.

??? 26.已知函数 f(x)=

x+1x, x∈[-2,-1?
-2, x∈??-1,21??

.

??x-1x, x∈??12,2??

(1)求 f(x)的值域; (2)设函数 g(x)=ax-2,x∈[-2,2], 若对于任意 x1∈[-2,2],总存在 x0,使得 g(x0) =f(x1)成立,求实数 a 的取值范围.

27.已知二次函数 f (x) ? ax2 ? bx ? c 的图象经过点 (0,1), f (x ? 2) 是偶函数,函数 f (x) 的图象与直线 y ? 2x 相切,且切点位于第一象限. (Ⅰ)求函数 f (x) 的解析式;

(Ⅱ)若对一切 x ?[?1,1],不等式 f (x ? t) ? f ( x ) 恒成立,求实数 t 的取值范围; 2
(Ⅲ)若关于 x 的方程 f (x) ? k | x | ? x ?1有三个不同的实数解,求实数 k 的值. x?2
28. k 是什么实数时,方程 x2 ? 2(k ?1)x ? 2k 2 ? 3k ? 5 ? 0 有两个不相等的实数根?
29.某合作学*小组探究函数 f (x) ? x ? 4 ? x ? 0? 时,得到 x ??0, ??? 时图象如下
x
图所示:
(I)计算 f (?2) 的值,判断函数 f (x) 的奇偶性并说明理由; (II)根据(I)中的结论在给定坐标系中将函数 f (x) 的图象补充完整;
(III)根据定义域上函数的完整图象,写出函数的单调区间及函数在定义域上的值域.
30.求函数 y ? x ? 1? x2 的值域.(构造截距)变式:求函数 y ? 2x ? 4x2 ?1 的值域.




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