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§2.1.1 指数与指数幂的运算（1）
学习目标
1. 了解指数函数模型背景及实用性、必要性； 2. 了解根式的概念及表示方法； 3. 理解根式的运算性质.
学习过程
一、课前准备
（预习教材 P48~ P50，找出疑惑之处）
复习 1：正方形面积公式为
；正方体的体积公式
为
.
复习 2：（初中根式的概念）如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a
的
，记作
；
如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的
，记作
.
二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一：指数函数模型应用背景
探究下面实例及问题，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数函数的必 要性.
实例 1. 某市人口平均年增长率为 1.25℅，1990 年人口数为 a 万，则 x 年后人 口数为多少万？
实例 2. 给一张报纸，先实验最多可折多少次？你能超过 8 次吗？
计算：若报纸长 50cm，宽 34cm，厚 0.01mm，进行对折 x 次后，求对折后的面积 与厚度？
问题 1：国务院发展研究中心在 2000 年分析，我国未来 20 年 GDP（国内生产总
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值）年平均增长率达 7.3℅， 则 x 年后 GDP 为 2000 年的多少倍？
问题 2：生物死亡后，体内碳 14 每过 5730 年衰减一半（半衰期），则死亡 t
年后体内碳
14
的含量
P
与死亡时碳
14
关系为
P
?
(
1
)
t 5730
.
探究该式意义？
2
小结：实践中存在着许多指数函数的应用模型，如人口问题、银行存款、生物变 化、自然科学.
探究任务二：根式的概念及运算
考察： (?2)2 ? 4 ，那么 ?2 就叫 4 的
33 ? 27 ，那么 3 就叫 27 的
；
(?3)4 ? 81 ，那么 ?3 就叫做 81 的
依此类推，若 xn ? a ,，那么 x 叫做 a 的
；
. .
新知：一般地，若 xn ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根 ( n th n ?1, n? ?? .
简记： n a . 例如： 23 ? 8 ，则 3 8 ? 2 .
root )，其中
反思： 当 n 为奇数时, n 次方根情况如何？ 例如： 3 27 ? 3 ， 3 ?27 ? ?3 , 记： x ? n a .
当 n 为偶数时，正数的 n 次方根情况？
例如： 81的 4 次方根就是
，记： ? n a .
强调：负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，即 n 0 ? 0 .
试试： b4 ? a ，则 a 的 4 次方根为
；
b3 ? a ，则 a 的 3 次方根为
.
新知：像 n a 的式子就叫做根式（radical），这里 n 叫做根指数（radical exponent）， a 叫做被开方数（radicand）.
试试：计算 ( 2 3)2 、 3 43 、 n (?2)n .
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反思： 从特殊到一般， (n a )n 、 n an 的意义及结果？
结论： ( n a )n ? a .
当 n 是奇数时，
n
an
? a ；当 n 是偶数时，
n
an
?|
a
|?
?a ???a
(a ? 0) .
(a ? 0)
※ 典型例题 例 1 求下类各式的值： （1） 3 (?a)3 ； （2） 4 (?7)4 ；
（3） 6 (3 ? ? )6 ； （4） 2 (a ? b)2 （ a ? b ）.
变式：计算或化简下列各式. （1） 5 ?32 ； （2） 3 a6 .
推广： np amp ? n am （a ? 0）. ※ 动手试试 练 1. 化简 5 ? 2 6 ? 7 ? 4 3 ? 6 ? 4 2 .
练 2. 化简 2 3 ? 3 1.5 ? 6 12 .
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三、总结提升 ※ 学习小结 1. n 次方根，根式的概念； 2. 根式运算性质.
※ 知识拓展 1. 整数指数幂满足不等性质：若 a ? 0 ，则 an ? 0 . 2. 正整数指数幂满足不等性质：
① 若 a ? 1，则 an ? 1 ； ② 若 0 ? a ? 1 ，则 0 ? an ? 1. 其中 n ?N*.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：
1. 4 (?3)4 的值是（ ）.
A. 3 B. －3
C. ? 3
2. 625 的 4 次方根是（ ）.
A. 5
B. －5 C. ±5
D. 81 D. 25
3. 化简 ( 2 ?b)2 是（ ）.
A. ?b
B. b
C. ?b
D. 1
b
4. 化简 6 (a ? b)6 =
.
5. 计算： ( 3 ?5)3 =
； 2 34
.
课后作业 1. 计算：（1） 5 a10 ；
（2） 3 79 .
2. 计算 a3 ? a?4 和 a3?(?8) ，它们之间有什么关系？ 你能得到什么结论？
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3.
对比 (ab)n
?
anbn
与 (a)n
b
?
an bn
，你能把后者归入前者吗？
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