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黑龙江省桦南县第二中学高一数学导学案 2.1.1 《指数与指数幂的运算》必修1(1)

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§2.1.1 指数与指数幂的运算(1)

学习目标
1. 了解指数函数模型背景及实用性、必要性; 2. 了解根式的概念及表示方法; 3. 理解根式的运算性质.

学习过程

一、课前准备

(预习教材 P48~ P50,找出疑惑之处)

复习 1:正方形面积公式为

;正方体的体积公式



.

复习 2:(初中根式的概念)如果一个数的平方等于 a,那么这个数叫做 a



,记作



如果一个数的立方等于 a,那么这个数叫做 a 的

,记作

.

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:指数函数模型应用背景
探究下面实例及问题,了解指数指数概念提出的背景,体会引入指数函数的必 要性.
实例 1. 某市人口平均年增长率为 1.25℅,1990 年人口数为 a 万,则 x 年后人 口数为多少万?

实例 2. 给一张报纸,先实验最多可折多少次?你能超过 8 次吗?
计算:若报纸长 50cm,宽 34cm,厚 0.01mm,进行对折 x 次后,求对折后的面积 与厚度?

问题 1:国务院发展研究中心在 2000 年分析,我国未来 20 年 GDP(国内生产总
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值)年平均增长率达 7.3℅, 则 x 年后 GDP 为 2000 年的多少倍?

问题 2:生物死亡后,体内碳 14 每过 5730 年衰减一半(半衰期),则死亡 t

年后体内碳

14

的含量

P

与死亡时碳

14

关系为

P

?

(

1

)

t 5730

.

探究该式意义?

2

小结:实践中存在着许多指数函数的应用模型,如人口问题、银行存款、生物变 化、自然科学.

探究任务二:根式的概念及运算

考察: (?2)2 ? 4 ,那么 ?2 就叫 4 的

33 ? 27 ,那么 3 就叫 27 的



(?3)4 ? 81 ,那么 ?3 就叫做 81 的

依此类推,若 xn ? a ,,那么 x 叫做 a 的


. .

新知:一般地,若 xn ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根 ( n th n ?1, n? ?? .
简记: n a . 例如: 23 ? 8 ,则 3 8 ? 2 .

root ),其中

反思: 当 n 为奇数时, n 次方根情况如何? 例如: 3 27 ? 3 , 3 ?27 ? ?3 , 记: x ? n a .

当 n 为偶数时,正数的 n 次方根情况?

例如: 81的 4 次方根就是

,记: ? n a .

强调:负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,即 n 0 ? 0 .

试试: b4 ? a ,则 a 的 4 次方根为



b3 ? a ,则 a 的 3 次方根为

.

新知:像 n a 的式子就叫做根式(radical),这里 n 叫做根指数(radical exponent), a 叫做被开方数(radicand).

试试:计算 ( 2 3)2 、 3 43 、 n (?2)n .

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反思: 从特殊到一般, (n a )n 、 n an 的意义及结果?

结论: ( n a )n ? a .

当 n 是奇数时,

n

an

? a ;当 n 是偶数时,

n

an

?|

a

|?

?a ???a

(a ? 0) .
(a ? 0)

※ 典型例题 例 1 求下类各式的值: (1) 3 (?a)3 ; (2) 4 (?7)4 ;
(3) 6 (3 ? ? )6 ; (4) 2 (a ? b)2 ( a ? b ).

变式:计算或化简下列各式. (1) 5 ?32 ; (2) 3 a6 .
推广: np amp ? n am (a ? 0). ※ 动手试试 练 1. 化简 5 ? 2 6 ? 7 ? 4 3 ? 6 ? 4 2 .
练 2. 化简 2 3 ? 3 1.5 ? 6 12 .
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三、总结提升 ※ 学习小结 1. n 次方根,根式的概念; 2. 根式运算性质.

※ 知识拓展 1. 整数指数幂满足不等性质:若 a ? 0 ,则 an ? 0 . 2. 正整数指数幂满足不等性质:
① 若 a ? 1,则 an ? 1 ; ② 若 0 ? a ? 1 ,则 0 ? an ? 1. 其中 n ?N*.

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:

1. 4 (?3)4 的值是( ).

A. 3 B. -3

C. ? 3

2. 625 的 4 次方根是( ).

A. 5

B. -5 C. ±5

D. 81 D. 25

3. 化简 ( 2 ?b)2 是( ).

A. ?b

B. b

C. ?b

D. 1
b

4. 化简 6 (a ? b)6 =

.

5. 计算: ( 3 ?5)3 =

; 2 34

.

课后作业 1. 计算:(1) 5 a10 ;

(2) 3 79 .

2. 计算 a3 ? a?4 和 a3?(?8) ,它们之间有什么关系? 你能得到什么结论?
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3.

对比 (ab)n

?

anbn

与 (a)n
b

?

an bn

,你能把后者归入前者吗?

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