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2018高中数学初高中衔接读本专题3.2二次函数的最值问题高效演练学案_1106

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第2讲

二次函数的最值

二次函数 y ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 是初中函数的主角,所蕴含的函数性质丰富,也是 高中学*的重要基础. 当自变量 x 在某个范围内取值时,求函数 y 的最大 (小) 值, 这类问题称为最值问题问题.最值问题在实际生活中也有广阔的应用. 【知识梳理】 1.二次函数解析式的三种形式: 一般式:y=ax2+bx+c(a≠0). 顶点式:y=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为(m,n). 零点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2 为 f(x)的零点. 2.二次函数的图象和性质 解析 式 图象 对称 性

y=ax2+bx+c(a>0)

y=ax2+bx+c(a<0)

函数的图象关于 x=-

b 对称 2a

3.二次函数的最值 (1).当 a>0 时,函数 y=ax2+bx+c 图象开口向上;顶点坐标为 (? 对称轴为直线 x=-
b 4ac ? b2 , ), 2a 4a

b b b ;当 x< ? 时,y 随着 x 的增大而减小;当 x> ? 时,y 2a 2a 2a
b 4ac ? b 2 时,函数取最小值 y= . 2a 4a

随着 x 的增大而增大;当 x= ?

(2).当 a<0 时,函数 y=ax2+bx+c 图象开口向下;顶点坐标为 (?

b 4ac ? b2 , ), 2a 4a

对称轴为直线 x=-

b b b ;当 x< ? 时,y 随着 x 的增大而增大;当 x> ? 时,y 2a 2a 2a

随着 x 的增大而减小;当 x= ? 【高效演练】

b 4ac ? b 2 时,函数取最大值 y= . 2a 4a

1.二次函数的图象过点(0,1),对称轴为 x=2,最小值为-1,则它的解析式是 y= ________. 【解析】设 y=a(x-2)2-1(a>0), 1 当 x=0 时,4a-1=1,a= , 2 1 1 所以 y= (x-2)2-1= x2-2x+1. 2 2 1 【答案】 x2-2x+1. 2 2.已知函数 y=x2+2ax+1-a(x∈[0,1])有最大值 2,则 a=________. 【解析】函数 f(x)=-x2+2ax+1-a=-(x-a)2+a2-a+1,其图象的对称轴方 程为 x=a. 当 a<0 时,f(x)max=f(0)=1-a,所以 1-a=2,所以 a=-1. 当 0≤a≤1 时,f(x)max=f(a)=a2-a+1,所以 a2-a+1=2,所以 a2-a-1=0,所 1± 5 以 a= (舍去). 2 当 a>1 时,f(x)max=f(1)=a,所以 a=2. 综上可知,a=-1 或 a=2. 【答案】-1 或 2. 3.已知函数 y=x2﹣2x+3,求下列情况下二次函数的最值

(1)2≤x≤3; (2)-2≤x≤2. 【分析】 (1) 根据二次函数 y=x2﹣2x+3 的图象和性质,分析当 2≤x≤3 时,y 递增, 进而可得 y 的最大值、最小值; (2)根据二次函数 y=x2﹣2x+3 的图象和性质,分析当-2≤x≤2.时,函数的单调 性,进而可得 y 的最大值、最小值.

【点评】熟练掌握二次函数的图象和性质是求取最值的关键。 4.二次函数 y=ax2+bx+c (1)若 a=1,b=﹣1,c=﹣2,求此抛物线与坐标轴的交点坐标. (2)若 a=1,b=﹣4m,c=1﹣2m,当﹣1<x<1 时,抛物线与 x 轴有一个公共点,求 m 的取值范围. (3)若 a=1,b=﹣4m,c=3,当﹣1<x<1 时,二次函数的值恒大于 1,求 m 的取值范 围. 【分析】 (1)将 a=1,b=﹣1,c=﹣2 代入原式,得到二次函数的解析式,令 y=0 即可 求出函数与 x 轴的交点;

(2)将 a=1,b=﹣4m,c=1﹣2m 代入解析式,由于抛物线开口向上,分类讨论列不等 式组解答: ①△=0,x=1 时,y>0;x=﹣1 时,y>0; ②x=1 时,y<0;x=﹣1 时,y>0; ③x=1 时,y>0;x=﹣1 时,y<0. (3)将 a=1,b=﹣4m,c=3 代入解析式,令△<0,x=1 时,y>0;x=﹣1 时,y>0,列 不等式组解答即可.

(2)将 a=1,b=﹣4m,c=1﹣2m 代入解析式得, y=x2﹣4mx+1﹣2m, ∵当﹣1<x<1 时,抛物线与 x 轴有一个公共点, ∴可得以下几种情况: ① ,解得 m= .



,解得 m> .



,解得 m<﹣1. 时当﹣1<x<1 时,抛物线与 x 轴有一个公共点.

∴综上,m> ,m<﹣1 或 m=

(3)将 a=1,b=﹣4m,c=3 代入解析式得,y=x2﹣4mx+3, ∵当﹣1<x<1 时,二次函数的值恒大于 1, ∴ , <m< .

解得﹣1<m< 或﹣

【点评】此题考查了抛物线与 x 轴的交点坐标及函数图象与不等式组的关系,根 据题意转化为相应的不等式组是解题的关键. 5.已知二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ,其两根分别为 0,5,且当 ?1 ? x ? 4 时,最大值为 12. (1)求函数的解析式; (2) 当 t ? x ? t ? 1时,求函数的最小值. 【解析】(1)因为是二次函数,两根分别为 0,5,所以可设 y=ax(x-5)(a>0), 所以当 ?1 ? x ? 4 时,的最大值是 f(-1)=6a. 由已知得 6a=12,所以 a=2,所以 y=2x(x-5)=2x2-10x.
? 5?2 25 (2)由(1)知 y=2x2-10x=2?x- ? - ,其图象是开口向上的抛物线,对称轴为 x 2? 2 ?

5 = . 2 5 3 ①当 t+1≤ ,即 t≤ 时,y 在 t ? x ? t ? 1上单调递减, 2 2 所以 h=2(t+1)2-10(t+1)=2t2-6t-8; 5 ②当 t≥ 时,y 在 t ? x ? t ? 1上单调递增,所以 h=2t2-10t; 2

5 3 5 5 25 ③当 t< <t+1,即 <t< 时,y 在 x= 处取得最小值,所以最小值为- . 2 2 2 2 2 , ?2t -6t-8,t≤3 2 ? 25 3 5 综上所述,h=?- , <t< , 2 2 2 ? 5 2t -10t,t≥ . ? 2
2 2

6.已知 y=ax2-2x(0≤x≤1). (1)求函数的最小值; (2)若 y≥-1 恒成立,求 a 的取值范围; 【解析】 (1)①当 a=0 时,y=-2x 在[0,1]上递减,所以 ymin=-2. 1 ②当 a>0 时,y=ax2-2x 的图象的开口方向向上,且对称轴为 x= .

a

? 1? 1 当 0< ≤1,即 a≥1 时,f(x)=ax2-2x 的图象的对称轴在[0,1]内,所以 y 在?0, ?

a

?

a?

上递减,
?1 ? 1 2 1 在? ,1?上递增.所以 ymin= - =- . ?a ?

a a

a

1 当 >1,即 0<a<1 时,y=ax2-2x 的图象的对称轴在[0,1]的右侧,所以 y 在[0,1]上

a

递减. 所以 ymin=a-2.

(2)只需 ymin≥-1,即可. 由(1)知,当 a<1 时,a-2≥-1,所以 a≥1(舍去); 1 当 a≥1 时,- ≥-1 恒成立,所以 a≥1.

a

故 a 的取值范围为 a≥1.. 7.已知:y 关于 x 的函数 y=(k﹣1)x2﹣2kx+k+2 的图象与 x 轴有交点。 (1)求 k 的取值范围; (2)若 x1,x2 是函数图象与 x 轴两个交点的横坐标,且满足(k﹣1) x12+2kx2+k+2=4x1x2. ①求 k 的值; ②当 k≤x≤k+2 时,请结合函数图象确定 y 的最大值和最大值。 【分析】 (1)分两种情况讨论,当 k=1 时,可求出函数为一次函数,必与 x 轴有一 交点;当 k≠1 时,函数为二次函数,若与 x 轴有交点,则△≥0。 (2)①根据(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2 及根与系数的关系,建立关于 k 的方程, 求出 k 的值。②充分利用图象,直接得出 y 的最大值和最小值。 【解析】 (1)当 k=1 时,函数为一次函数 y=﹣2x+3,其图象与 x 轴有一个交点。 当 k≠1 时,函数为二次函数,其图象与 x 轴有一个或两个交点, 令 y=0 得(k﹣1)x2﹣2kx+k+2=0.

△=(﹣2k)2﹣4(k﹣1) (k+2)≥0,解得 k≤2.即 k≤2 且 k≠1。 综上所述,k 的取值范围是 k≤2。 (2)①∵x1≠x2,由(1)知 k<2 且 k≠1。 由题意得(k﹣1)x12+(k+2)=2kx1(*), 将(*)代入(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2 中得:2k(x1+x2)=4x1x2。又 ∵x1+x2=
2k ,x1x2= k+2 ,∴2k? 2k =4? k+2 , k ?1 k ?1 k ?1 k ?1

解得:k1=﹣1,k2=2(不合题意,舍去) 。∴所求 k 值为﹣1。 ②如图,∵k1=﹣1,y=﹣2x2+2x+1=﹣2(x﹣ 1 )2+ 3 ,且﹣1≤x≤1,
2 2

由图象知:当 x=﹣1 时,y 最小=﹣3;当 x= 1 时,y 最大= 3 。
2 2

∴y 的最大值为 3 ,最小值为﹣3。
2

【点评】抛物线与 x 轴的交点,一次函数的定义,一元二次方程根的判别式和根与 系数物关系,二次函数的最值。 8. 如图,已知抛物线 y=﹣x +2x 经过原点 O,且与直线 y=x﹣2 交于 B,C 两点. (1)求抛物线的顶点 A 的坐标及点 B,C 的坐标; (2)求证:∠ABC=90°; (3)在直线 BC 上方的抛物线上是否存在点 P,使△PBC 的面积最大?若存在,请求 出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由;
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【答案】(1) A(1,1) ,B(2,0),C(﹣1,﹣3) (2)见解析 (3)( , ) 【分析】 (1)把抛物线解析式化为顶点式可求得 A 点坐标,联立抛物线与直线的 解析式可求得 B、C 的坐标; (2)由 A、B、C 的坐标可求得 AB 、BC 和 AC ,由勾股定理的逆定理可判定△ABC 是直角三角形; (3)过点 P 作 PG∥y 轴,交直线 BC 于点 G,设出 P 点坐标,则可表示出 G 点坐标, 从而可表示出 PG 的长,则可表示出△PBC 的面积,利用二次函数的性质可求得其 最大值时 P 点坐标. 【解析】 (1)∵y=-x +2x=-(x-1) +1, ∴抛物线顶点坐标 A(1,1), 联立抛物线与直线解析式可得 ∴B(2,0),C(-1,-3) ; ,解得 或 ,
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(3)如图,过点 P 作 PG∥y 轴,交直线 BC 于点 G,

设 P(t,-t +2t),则 G(t,t-2), ∵点 P 在直线 BC 上方, ∴PG=-t +2t-(t-2)=-t +t+2=-(t- ) + , ∴S△PBC=S△PGB+S△PGC= PG[2-(-1)]= PG=- (t- ) + , ∵- <0, ∴当 t= 时,S△PBC 有最大值,此时 P 点坐标为( , ), 即存在满足条件的点 P,其坐标为( , ) 【点评】 :本题为二次函数的综合应用,涉及二次函数的性质、函数图象的交点、 勾股定理及其逆定理、相似三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识.在 (1)中联立两函数解析式可求得其交点坐标,在(2)中利用勾股定理分别表示 出 AB、AC、BC 是解题的关键,在(3)中用 P 点坐标表示出△PBC 的面积是解题的 关键.
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